Aloitti kautensa Ruotsissa Luleå HF:ssä pelaten 22 runkosarjaottelua tehoin 5+3=8. Siirtyi kesken kauden Sveitsiin HC Luganoon, pelaten 9 runkosarjaottelua (1+0=1) ja neljä playoffs-ottelua (1+0=1). Lisäksi pelasi kolme ottelua Ruotsin maajoukkueessa, tehden kolme maalia ja syöttäen yhden.

Kramfors-Alliansen kasvatti pelasi juniorivuosinaan MODO Hockey J18- ja J20-joukkueissa, jonka jälkeen siirtyi Kanadaan kahdeksi kaudeksi Quebec Maritimes Junior Hockey Leaguen joukkueeseen St. John's Fog Devilsiin. Kanadassa vietettyjen kausin jälkeen matka jatkui takaisin kotimaahan Rögle BK:seen. Hän debytoi Ruotsin pääsarjassa kaudella 2008–2009 Rögle BK:n riveissä. Siirtyi kesken kauden HockeyAllsvenskanin joukkueeseen Mora IK:hon. Debyyttikauden jälkeen pelasi seuraavilla kausilla niin Rögle BK:ssä, Djurgårdens IF:ssä kuin MODO Hockeyssakin.

Ruotsista matka jatkui KHL:ään Vityaz Podolskiin kolmeksi kaudeksi ja kaudella 2017–2018 Kempe pääsi mittamaan taitojaan NHL:ssä Arizona Coyotesissa 18 ottelun verran. Suurimman osan kaudesta hän pelasi Arizonan farmijoukkueessa Tucson Roadrunnersissa. Seuraavalla kaudella hyökkääjä pääsi pelaamaan Arizonan paidassa 52 runkosarjaottelua (4+5=9) ja AHL:ssä 10 runkosarjaottelua (5+6=11).

Kausi 2019–20 alkoi Pohjois-Amerikassa, mutta siirtyi kesken kauden CSKA Moskvaan. Pelasi 28 runkosarjaottelua (5+15=20) ja neljä playoffs-ottelua (1+0=1). Seuraavalla kaudella otteluita kertyi runkosarjassa 34 (11+11=22) ja playoffeissa 12. Kaudelle 2021–22 siirtyi Dinamo Minskiin, pelaten 31 runkosarjaottelua (6+11=17), jonka jälkeen matka jatkui takaisin Ruotsiin Luleå HF:ään. Pelasi viime kaudella Luleå HF:ssä 22 runkosarjaottelua, mutta siirtyi kesken kauden Sveitsiin HC Luganoon.

On pelannut Ruotsin U18- ja U20-maajoukkueissa juniorivuosinaan. Ammattilaisurallaan Kempe on pelannut Ruotsin maajoukkueessa useilla kausilla.